원의 반지름이 항상 원의 둘레에 정확히 여섯 번 보여질 수 있는가?

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주제는 '원의 반지름이 항상 원의 둘레에 정확히 여섯 번 보여(project)질 수 있는가?'였습니다. 이것은 대화 이전과 이후의 연령대를 위한 기하학 교과 과정에 적합했습니다 - 수학적인 배경은 정육각형의 구성입니다. 그러나 학생들에게는 질문이 주어지지 않았습니다. 그들은 스스로 그것을 발견해야만 했습니다.

 

첫 번째 수업에서 나는 학생들에게 각자 자신을 위해 원을 그리라고 요청하는 것으로 시작했습니다. 다음으로 원주상의 임의의 점을 선택하고 그 점에서 원의 중심점까지를 반지름으로 하여 원을 그리고, 두 번째 원과 첫 번째 원이 만나는 점에서 다시 첫 번째 원의 중심점까지를 반지름으로 하여 원을 계속 그려 나갑니다. 나는 아직 실제 질문을 발표하지 않았습니다. 학생들 스스로 그리고 독립적으로 설명할 현상을 발견하고 자신의 질문을 만들었습니다. 내 제안에 따라 그들은 각각 종이에 컴퍼스 구조를 만들었습니다. 예상대로 그들의 부정확한 그림은 다양한 결과를 낳았고 이는 학생들에게 질문에 대한 보다 정확한 조사를 필요로 했습니다. 일부 학생들은 '정확하게 나온다' 즉 ‘여섯 번 작동' 한다는 것을 매우 빨리 발견했습니다. 어떤 학생들은 원주에서 여섯 번째 교차점이 시작점 앞에 있고 또 다른 학생들은 시작점 뒤에 있었습니다. 나는 어느 한 그룹에 동의하고 그들의 결과가 정확하다고 선언할 준비가 되어 있지 않았기 때문에 문제에 대한 더 면밀한 조사가 필요했습니다. 따라서 학생들은 '원의 반지름이 항상 둘레에 정확히 여섯 번 보여질 수 있습니까?'라는 질문을 공식화했습니다.

 

지금까지 학생들은 매우 의욕이 있었고 수업에 가장 열성적으로 참여했습니다. 그들은 수많은 창의적인 아이디어를 가지고 있었고 초기에 여러 변형을 시험했습니다. 예를 들어, 그들은 반지름은 작은 원보다 큰 원에서 더 자주 보일 수 있는지 질문했습니다. 그러나 그들은 연습장에 많은 그림을 그린 후, 당분간 이 질문을 하지 않기로 했습니다. 그들은 '항상 여섯 번 작동한다'를 의심했고 이에 대한 일반적인 정당성을 찾고자 했습니다. 따라서 그들은 포스터에 원을 그리고 그 원 안에 다양한 연결선(각각의 원주점들과 중심점 포함)을 그렸습니다. 이렇게 해서 육각형이 생겨났고 여섯 개의 정삼각형으로 세분되었습니다. 그러나 참가자들이 삼각형이 정삼각형임을 깨닫고 그 정당성을 찾기까지 시간이 걸렸습니다. 그들은 도형 내에서 반복되는 특정 선과 그 기능을 인식했습니다. (우리는 '거울 축'이라는 직경을 그리고 있습니다.) 게다가 그들은 다소 도움이 되는 선을 추가로 그렸습니다. 어떻게 이런 방식으로 그들이 한 모양 내에서 다수의 다른 기하학적 모양을 인식하는지와 이전 수업에서 때때로 그것들이 야기했던 특성(직사각형, 평행사변형, 사다리꼴)에 대해 토론하는 것을 관찰하는 것은 특히 흥미로웠습니다.

 

한 학생이 (정삼각형)각에 대한 조사를 제안한 후, 참가자들은 내가 허용한 각도를 먼저 측정하려고 했습니다. 그러나 그들은 곧 이것이 '거의 모든 사람이 다른 값을 갖기 때문에' 부정확한 방법이라는 것을 발견했습니다. 결국 한 여학생이 삼각형의 각의 합에 대한 공리를 기억했습니다. 그러자 학생들은 모두가 이해할 수 있는 방식으로 그것을 다른 사람에게 설명하였습니다. 마지막으로 공동의 노력으로 그들은 이전의 지식을 바탕으로 모든 사람이 동의하는 해결책을 찾았습니다. "삼각형은 60° 각도를 가지고 있다. 삼각형 여섯 개를 한 귀퉁이(원점)에 함께 배치하면 360°(6 x 60°)가 된다. 따라서 정확히 여섯 개의 삼각형만이 들어갈 수 있으며, 그 이상도 이하도 아니다.' 이 정당화 사슬의 개별 요소는 대화 과정에서 단계적으로 발견되었고 모든 사람이 이해할 수 있게 되었습니다.

 

물론 수업 중에 집중력 저하와 동기 감소와 같은 방해가 자주 발생하여 대화가 중단되었고 교사의 개입도 필요했습니다. 계속해서 대화는 '소크라테스' 단계와 '질문' 단계 사이에서 변동했습니다. 특히 눈에 띄는 것은 참가자의 행동과 다른 단계에서 교사 행동의 차이였습니다. 소크라테스식 대화 단계에서 학생들은 대화에 대한 책임을 스스로 떠맡았습니다. 그들은 자신들만의 아이디어를 개발하고 서로 경청하고 응답했습니다. 요컨대, 그들은 서로 이야기하고 공동으로 해결 전략을 개발했습니다. 정규 수업에서, 그들에게 친숙한 더 많은 질문 단계에서 그들은 수업에서 평소의 행동으로 되돌아갔습니다. 그들은 서로 의사소통을 하지 않았고 자주 교사의 확인을 구했고, 따라서 그들의 책임 대부분을 진행자에게 맡겼습니다. 나도 평소의 교사 역할을 반복적으로 되풀이했습니다. 그러나 나는 내용 문제를 자제하고 내용에 대한 대화 과정을 조작하지 않았습니다. 한 학생은 이것을 다음과 같이 표현했습니다. '골드슈타인 선생님은 우리를 전혀 돕지 않았습니다. 우리가 문제를 해결해야 했고 우리가 제대로 하고 있는지를 알아야 했습니다.'

 

 

('WE HAD TO THINK FOR OURSELVES'USING SOCRATIC DIALOGUE IN MATHEMATICS LESSONS IN A SECONDARY SCHOOL/Mechthild Goldstein 중)